기본이론] 수학 교과교육론(1)

1. 스켐프(수학 지식에 대한 학생들의 이해 수준)

(1) 도구적 이해: 규칙이나 공식을 암기하여 문제를 해결할 수 있지만 왜 그렇게 되는지 원리는 모르는 수준(방법O / 원리X)

장점: 쉽고 빠른 학습 목표 달성, 학습결과의 보상이 즉각적, 신속한 결과 얻을 수 있음

(2) 관계적 이해: 규칙이나 공식이 만들어진 원리를 알고 문제를 해결할 수 있는 수준(방법O / 원리O)

장점: 새로운 문제에 응용 가능, 기억이 오래 지속, 흥미와 자신감(동기 유발이 지속적)

 

2. 디에네스(개념 학습 단계/원리)

: 디네에스 모형, 속성 모형등의 교구 조작을 통한 수학 개념 학습, 놀이-게임을 통한 수학 개념 학습

 

(1) 개념 학습 단계

자유 놀이	게임	공통점 탐색	표현	상징화	형식화
수학적 개념을 담고 있는 구체물을 자유롭게 대함	조건이 가해진 놀이(게임)	공통적으로 들어 있는 특정 개념의 수학적 구조를 파악(귀납적 사고)	공통적으로 들어 있는 구조나 개념을 표현(말, 그림, 그래프 등)	표현을 수학적 기호화	증명을 통한 개념의 여러 가지 성질을 체계화(연역적 사고)

(2) 개념 학습 원리

• 활동성[역동성]의 원리: 놀이 또는 게임 등의 다양한 활동이 우선

• 구성의 원리: 구성이 분석에 선행되어야 함(전체 → 부분)

• 지각적 다양성의 원리: 다양한 형태의 구체물을 활용하여 제시
  Ex) 빨대로 만든 사각형, 사각형 무늬가 있는 포장지 등

• 수학적 다양성의 원리: 결정적 속성은 고정하고 비결정적 속성을 다양하게 변화하여 제시

 

3. 브루너(EIS이론/수학 학습 원리)

: 아동의 인지 수준에 맞는 표현을 이용한 수학 개념 지도, 수학의 구조를 아동 스스로 발견하도록 하는 학습(구성 주의)

 

(1) EIS 이론(동영상): 이해를 표현하는 적절한 표상 형태를 습득해야 한다.(구체적 → 추상적)

① 활동적 표상(Enactive Representation): 행위와 동작을 통해서 표상
  Ex) 손으로 원을 그리는 행위

② 영상적 표상(Iconic Representation): 이미지의 형태(그림이나 색칠)로 표상
  Ex) 원을 그리는 행위, 분수의 크기를 색칠하는 행위(과정이 아니라 결과물에 주목)

③ 상징적 표상(Symbolic Represectation): 기호(용어 정의 포함)를 통해 표상
  Ex) 수식을 나타내거나 원에 대한 정의

 

(2) 수학 학습 원리

: 학생 자신이 직접 수학적 표상을 구성하고 이를 표현하며 대조와 다양한 예를 통하여 다른 분야와 연결을 지으면서 학습해야 한다

• 구성의 원리: 개념이나 원리, 규칙을 학생 스스로 직접 구성하여 표현해 보도록 하는 것(구성 주의)
  *교사의 좋은 발문 "이런 도형을 무엇이라고 부르면 좋을까요?"

• 대조와 다양화의 원리: 새로운 개념을 학습할 때, 대조와 다양화 과정(더욱 잘 이해)을 통하여 개념에 대한 구체적 표상으로부터 추상적인 표상으로 발전한다는 것

• 표현의 원리: 수학적 개념이나 원리에 대한 표현이 학생들의 인지 발달 수준에 맞게 이루어진다면, 학생들은 더 잘 이해할 수 있다는 원리
  Ex) 초등 수준: △, □ // 중학 수준: x, y

• 연결성의 원리: 수학에서 각각의 개념, 원리, 기능은 또 다른 개념, 원리, 기능들과 연결되어야 한다는 것

 

4. 피아제(인지 발달/추상화)

(1) 인지 발달 과정(2가지)

① 적응을 위한 변화

• 동화: 새로운 지식이 익숙할 경우 기존의 스키마로 이해하여 흡수

• 조절: 새로운 지식이 생소할 경우 기존의 스키마를 변형하거나 새로운 스키마를 형성

② 조직과 구조상의 변화: 새로운 스키마와 기존의 스키마가 계속해서 결합하고 조절되어 단순한 구조에서 복잡한 구조로 발달되거나 변하는 것

③ 인지 발달에 영향을 미치는 요인: 육체적 성숙, 경험, 사회적 전달(교육), 평형화 등
  *평형화: 안정이 깨져 인지적으로 불안정한 비평형 상태에서 조절과 동화를 통해 새로운 평형을 형성
  *교사의 역할: 학습자가 끊임없이 인지적 비평형 상태에 놓이도록 환경이나 경험을 제공

 

(2) 인지 발달 단계(x4)

① 감각운동기: 신체적 감각을 통해 인지구조 변화(영속성 개념 획득)

② 전조작기: 미숙하나마 정신적 조작 능력 발달

③ 구체적 조작기(7~12세): 논리-수학적 사고 등장, 가역성의 원리를 통한 보존 개념 획득, 수학 수업에서 새로운 주제나 원리, 개념을 도입할 때는 구체적인 다양한 예와 직관적인 실험 활동을 통해서 도입되어야 함

④ 형식적 조작기: 구체물을 사용하지 않고 논리-수학적 사고를 하는 단계

 

(3) 추상화 유형

① 경험적 추상화: 대상의 속성(물리적 속성)을 이끌어 내는 추상화
  Ex) 접시나 동전으로부터 둥글다는 속성을 추상화

② 반영적 추상화: 대상이 아닌 대상에 대한 조작 행동(논리-수학적 지식)을 추상화 한 것
  Ex) 반사: 일 모형 10개를 십 모형 1개로 바꾸는 조작 행동에 대해 의식
        ↓
      반성: 받아 올림의 원리에 대한 논리-수학적 지식을 형성

③ 의사-경험적 추상화(논리-수학적 지식의 확인을 위해서는 구체물이 필요): 대상에 대한 행동과 조작을 조정(논리-수학적 지식)하여 이루어지는 추상화
  Ex) 수 모형 조작활동을 통해 받아올림의 원리에 대한 논리-수학적 지식이 형성되었지만, 추가 문제 제시하였을 때, 수 모형을 활용해야만 문제를 해결할 수 있는 추상화 cf) 수 모형 활용 없이도 문제를 해결 할 수 있다면 반영적 추상화에 해당