기본이론] 수학 교과교육론(2)

1. 반 힐레(기하적 사고 수준/기하 학습 단계)

(1) 기하적 사고 수준(x5)

수준	시각적 인식 (1~2학년)	분석적 (3~4학년)	비형식적 연역 [관계적] (5~6학년)	형식적 연역	엄밀한
사고의 대상	주변 사물	도형	성질	명제	논리
사고의 수단	도형(모양)	성질	명제	논리	추상화

*명제: 성질들 사이의 관련성을 논리적으로 파악하고 이를 표현한 것

① 시각적 인식 수준: 주변 사물을 도형의 모양이라는 측면에서 인식하고 파악하는 단계(직관적 사고)

② 분석적 수준: 시각적으로 지각되는 도형을 관찰 및 실험과 같은 구체적인 조작활동을 통해 개별적인 구성요소와 성질을 파악하는 단계(귀납적 사고)

③ 비형식적 연역 수준[관계적 수준]
  1) 한 도형 내에서 여러 성질들의 관계를 조직할 수 있다.(연역적 사고)
    Ex) 성질1, 성질2 → 성질1=전제, 성질2=결론

  2) 여러 도형들 사이의 포함 관계를 파악할 수 있다.

  3) 비형식적 연역(분석적 수준을 거치면서 알게 된 도형의 성질을 이용한 간단한 증명: 대전제→소전제→결론, cf. 구체적 조작활동)을 통해 도형의 한 성질이 다른 성질의 전제가 되는 것, 도형의 새로운 성질을 추론할 수 있다.

  4) 도형의 성질에 대한 필요조건과 충분조건을 구분하고, 이를 통해 도형의 정의를 추론할 수 있다.(필요조건과 충분조건 간의 관계는 이해하지 못함)

④ 형식적 연역 수준: 명제들 간(cf. 비형식적: 성질들 간)의 논리적인 관계를 파악하거나 논리적인 증명을 하는 등의 형식적인 연역이 가능한 단계

⑤ 엄밀한 수준: 기하학 구조의 논리성 그 자체가 사고의 대상이 되어 다양한 공리체계를 이해하는 단계

 

(2) 기하 학습 단계

① 질의 안내: 학생과 대화를 통해 새로운 학습 주제를 소개

② 안내된 탐구

• 주제의 특징에 친숙해지도록 단일 단계 과제를 제시(계열화)

• 학생은 과제를 해결하면서 학습의 방향을 감지

• 해당 주제의 구조를 점진적으로 파악

③ 발전/명료화

• 경험과 교사의 도움말을 토대로 주제의 구조에 대한 의견 표현

• 구조를 명확히 하고 관계 체계를 형성

• 교사는 학생의 표현을 수학적으로 명료화하기 위해 관련된 수학적 용어 소개

④ 자유 탐구: 여러 가지 방식으로 접근할 수 있는 복잡한 과제를 제시, 이를 통해 해당 주제에 정통하게 됨

⑤ 통합: 탐구 활동 전체를 조명하게 되면서 사고 수준의 비약

 

2. 프로이덴탈

(1) 수학화(구성 주의)

: 현상(대상)을 정리 수단인 본질로 조직하는 과정, 수업 상황 자체가 아동 체험의 일부로 현실화되도록 하는 것이 중요

① 수평적 수학화: 비 수학적 현실 상황을 관찰, 실험, 귀납 등(구체적 조작활동)을 통해 수학적으로 표현하는 과정
  Ex) 교실의 의자를 보고 모둠씩 묶어 표현하는 것

② 수직적 수학화: 수학적 표현을 더 기호화, 형식화하는 과정

  Ex) 묶음을 보고 덧셈식이나 곱셈식으로 나타낸 것, 모둠 별 의자가 5개씩, 총 4모둠(현상) → 5x4=20(본질)

③ 응용적 수학화: 개념을 현실 세계의 새로운 문제에 적용하여 개념을 강화하고 일반화 하는 과정

 

(2) 수학화 교수-학습 원리

① 안내된 재발명: 교사의 안내(현실에 맞는 문맥과 발명 방식(사고 실험|: 학생들과의 수업-대화를 상상하여 대응 방안을 준비하는 것| 필요)) 하에 현실에서 수학화 활동을 통해 수학자들이 이미 발명한 수학적 내용을 학생들이 다시 발명하는 것

② 반성적 사고: 수준 상승의 원동력으로 자신의 행동과 생각을 의식화하여 객관적으로 분석하는 사고
  *수학 수업의 방향: 점진적 수학화를 통한 수준 상승

③ 현실과 결부된 수학: 학생들에게 현실 세계의 문제를 제시하고, 학습한 개념을 현실 세계의 새로운 문맥에 적용하여아 한다는 의미

 

3. 베르트하이머(유의미한 학습→생산적 사고→통찰을 통한 문제 경험)

: 문제를 시각적이거나 도형으로 재구성했을 때 그 공식의 배경이 되는 직관이 보다 쉽게 파악 가능

수학적 구조를 이해함으로써 문제를 단순화시킬 수 있으며 이것이 바로 수학적 발견의 동기가 됨

 

(1) 유의미한 학습: 문제의 전체적인 구조(cf. 기계적인 방법)를 파악하는 학습

 

(2) 생산적 사고: 문제의 전체적인 구조 이해에 기초한 사고

 

(3) 통찰을 통한 문제 경험(=아하 경험): 문제의 해결책이 갑작스럽게 떠오르는 경험

 

4. 폴리아(문제 해결 4 단계/전략)

: 학생들의 문제 해결 활동을 효과적으로 자연스럽게 돕기 위해서 교사는 학생의 사고를 자극하고 이끌어 주는 적절한 수준의 발문과 권고를 사용해야 한다.

 

(1) 문제 해결 4단계(문제 해결 학습 모형/단계별 발문 중요)

① 문제의 이해

  Q1) 구하고자 하는 것은 무엇인가?

  Q2) 문제 상황에 대하여 마음 속으로 그림 그려라

  Q3) 조건은 충분한가? 불충분한가?

  Q4) 조건을 여러 부분으로 분해하여라

② 해결 계획의 수립

  Q1) 전에 이와 유사한 문제를 풀어본 경험이 있는가?
   (유추적 사고: 두 문제 상황이 유사하다는 것에 근거하여 문제 해결 방법이 같은 것이라고 추측하는 것)

  Q2) 유사한 문제를 풀었을 때 사용한 전략이나 해결방법은 무엇이었는가?

  Q3) 유용하게 이용할 만한 방법을 알고 있는가?

  Q4) 어떤 전략을 선택했으며 왜 그 전략을 사용하려고 하는가?

③ 해결 계획의 실행

④ 반성

• 문제 해결 과정 검토하기

  Q1) 풀이 단계를 점검하여라

  Q2) 구한 답이 문제의 조건에 맞는가? 계산은 정확한가?

• 다른 해결 방법 탐색하기

  Q1) 다른 풀이 방법이 더 있는가?

  Q2) 더 쉬운 방법으로 해결할 수 없는가?

• 조건을 변경하여 새로운 문제 만들기

  Q1)

 

(2) 문제 해결 전략(해결 계획의 수립 단계)

① 실제로 해보기: 문제 상황을 모델 또는 구체물로 나타내고 조작 활동을 통하여 해결하는 방법

② 식 만들기: 문제에서 주어진 조건들 사이의 관계를 나타내는 식을 세워 문제를 해결하는 방법

③ 예상과 확인: 문제를 해결할 때 답이 얼마라고 예상해 보고, 그것이 문제의 조건에 적절한지 확인해 보는 방법

④ 그림 그리기: 문제에 나타나 있는 사실과 그들 사이의 관계를 그림으로 나타내어 문제를 해결하는 방법

⑤ 표 만들기: 문제에 주어진 자료를 표에 나타내어 해결하는 방법
(문제의 유형에 따라 이 전략을 사용하여 직접 답을 구하거나, 해결 방법을 모색하기 위한 보조전략으로 사용되가도 한다: 모든 전략이 병행되어 사용될 수 있다)

⑥ 규칙 찾기: 문제에 주어진 조건이나 관계를 분석하여 규칙을 찾아내고 규칙을 확대 적용하여 문제를 해결하는 방법

⑦ 단순화 하기: 주어진 문제보다 더 간단한 문제를 만들어 해결한 다음, 그 전략을 원래의 문제에 적용하여 해결하는 방법

⑧ 거꾸로 풀기(역연산): 문제의 결과나 답을 이미 알고 있는 상태에서, 주어진 문제의 최초 조건을 구하는 방법

⑨ 목록 만들기: 문제에서 일어날 수 있는 모든 경우를 빠짐없이 찾을 때 사용하는 방법
  Ex) 수형도

⑩ 논리적 추론: 정답이 될 수 있는 여러 가지 사실들 중 조건을 만족하는지를 점검해 보고 불가능한 사실을 제거해 가면서 조건을 만족시키는 사실(결론)에 이를 때까지 한 단계씩 차례로 고찰하는 전략