1. 스켐프(수학 지식에 대한 학생들의 이해 수준)
(1) 도구적 이해: 규칙이나 공식을 암기하여 문제를 해결할 수 있지만 왜 그렇게 되는지 원리는 모르는 수준(방법O / 원리X)
장점: 쉽고 빠른 학습 목표 달성, 학습결과의 보상이 즉각적, 신속한 결과 얻을 수 있음
(2) 관계적 이해: 규칙이나 공식이 만들어진 원리를 알고 문제를 해결할 수 있는 수준(방법O / 원리O)
장점: 새로운 문제에 응용 가능, 기억이 오래 지속, 흥미와 자신감(동기 유발이 지속적)
2. 디에네스(개념 학습 단계/원리)
: 디네에스 모형, 속성 모형등의 교구 조작을 통한 수학 개념 학습, 놀이-게임을 통한 수학 개념 학습
(1) 개념 학습 단계
자유 놀이 | 게임 | 공통점 탐색 | 표현 | 상징화 | 형식화 |
수학적 개념을 담고 있는 구체물을 자유롭게 대함 | 조건이 가해진 놀이(게임) | 공통적으로 들어 있는 특정 개념의 수학적 구조를 파악(귀납적 사고) | 공통적으로 들어 있는 구조나 개념을 표현(말, 그림, 그래프 등) | 표현을 수학적 기호화 | 증명을 통한 개념의 여러 가지 성질을 체계화(연역적 사고) |
(2) 개념 학습 원리
-
활동성[역동성]의 원리: 놀이 또는 게임 등의 다양한 활동이 우선
-
구성의 원리: 구성이 분석에 선행되어야 함(전체 → 부분)
-
지각적 다양성의 원리: 다양한 형태의 구체물을 활용하여 제시
Ex) 빨대로 만든 사각형, 사각형 무늬가 있는 포장지 등 -
수학적 다양성의 원리: 결정적 속성은 고정하고 비결정적 속성을 다양하게 변화하여 제시
3. 브루너(EIS이론/수학 학습 원리)
: 아동의 인지 수준에 맞는 표현을 이용한 수학 개념 지도, 수학의 구조를 아동 스스로 발견하도록 하는 학습(구성 주의)
(1) EIS 이론(동영상): 이해를 표현하는 적절한 표상 형태를 습득해야 한다.(구체적 → 추상적)
① 활동적 표상(Enactive Representation): 행위와 동작을 통해서 표상
Ex) 손으로 원을 그리는 행위
② 영상적 표상(Iconic Representation): 이미지의 형태(그림이나 색칠)로 표상
Ex) 원을 그리는 행위, 분수의 크기를 색칠하는 행위(과정이 아니라 결과물에 주목)
③ 상징적 표상(Symbolic Represectation): 기호(용어 정의 포함)를 통해 표상
Ex) 수식을 나타내거나 원에 대한 정의
(2) 수학 학습 원리
: 학생 자신이 직접 수학적 표상을 구성하고 이를 표현하며 대조와 다양한 예를 통하여 다른 분야와 연결을 지으면서 학습해야 한다
-
구성의 원리: 개념이나 원리, 규칙을 학생 스스로 직접 구성하여 표현해 보도록 하는 것(구성 주의)
*교사의 좋은 발문 "이런 도형을 무엇이라고 부르면 좋을까요?" -
대조와 다양화의 원리: 새로운 개념을 학습할 때, 대조와 다양화 과정(더욱 잘 이해)을 통하여 개념에 대한 구체적 표상으로부터 추상적인 표상으로 발전한다는 것
-
표현의 원리: 수학적 개념이나 원리에 대한 표현이 학생들의 인지 발달 수준에 맞게 이루어진다면, 학생들은 더 잘 이해할 수 있다는 원리
Ex) 초등 수준: △, □ // 중학 수준: x, y -
연결성의 원리: 수학에서 각각의 개념, 원리, 기능은 또 다른 개념, 원리, 기능들과 연결되어야 한다는 것
4. 피아제(인지 발달/추상화)
(1) 인지 발달 과정(2가지)
① 적응을 위한 변화
-
동화: 새로운 지식이 익숙할 경우 기존의 스키마로 이해하여 흡수
-
조절: 새로운 지식이 생소할 경우 기존의 스키마를 변형하거나 새로운 스키마를 형성
② 조직과 구조상의 변화: 새로운 스키마와 기존의 스키마가 계속해서 결합하고 조절되어 단순한 구조에서 복잡한 구조로 발달되거나 변하는 것
③ 인지 발달에 영향을 미치는 요인: 육체적 성숙, 경험, 사회적 전달(교육), 평형화 등
*평형화: 안정이 깨져 인지적으로 불안정한 비평형 상태에서 조절과 동화를 통해 새로운 평형을 형성
*교사의 역할: 학습자가 끊임없이 인지적 비평형 상태에 놓이도록 환경이나 경험을 제공
(2) 인지 발달 단계(x4)
① 감각운동기: 신체적 감각을 통해 인지구조 변화(영속성 개념 획득)
② 전조작기: 미숙하나마 정신적 조작 능력 발달
③ 구체적 조작기(7~12세): 논리-수학적 사고 등장, 가역성의 원리를 통한 보존 개념 획득, 수학 수업에서 새로운 주제나 원리, 개념을 도입할 때는 구체적인 다양한 예와 직관적인 실험 활동을 통해서 도입되어야 함
④ 형식적 조작기: 구체물을 사용하지 않고 논리-수학적 사고를 하는 단계
(3) 추상화 유형
① 경험적 추상화: 대상의 속성(물리적 속성)을 이끌어 내는 추상화
Ex) 접시나 동전으로부터 둥글다는 속성을 추상화
② 반영적 추상화: 대상이 아닌 대상에 대한 조작 행동(논리-수학적 지식)을 추상화 한 것
Ex) 반사: 일 모형 10개를 십 모형 1개로 바꾸는 조작 행동에 대해 의식
↓
반성: 받아 올림의 원리에 대한 논리-수학적 지식을 형성
③ 의사-경험적 추상화(논리-수학적 지식의 확인을 위해서는 구체물이 필요): 대상에 대한 행동과 조작을 조정(논리-수학적 지식)하여 이루어지는 추상화
Ex) 수 모형 조작활동을 통해 받아올림의 원리에 대한 논리-수학적 지식이 형성되었지만, 추가 문제 제시하였을 때, 수 모형을 활용해야만 문제를 해결할 수 있는 추상화 cf) 수 모형 활용 없이도 문제를 해결 할 수 있다면 반영적 추상화에 해당
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